算术入门1-实数

前言:
广州疫情最近有点严重,回不去学校了。在家连不上系统,于是梳理一下学过的数学内容。大概有20章,尽量做到每天更新。

格式约定:

这是正文。

这是引用,导言或注释

斜体只是调侃,没有实际意义


从远古时代人们就发明了“数”的概念,主要用于计数

什么是“数”?为什么 \(1+1=2\)?这是如何定义出来的?

简单来说,数是一种算术对象。确定的运算的对象构成的集合称为数集,数集中的元素称为(numbers)。

我们可以用字母来表示一个数(已知的或未知的、变量或常量),例如

\[a,b,x,y,z \]

都可以是数。

加法

加法是定义的产物。一加一之所以等于二,不是因为一个苹果和一个苹果得到两个苹果,而是因为定义如此。

数学就像一种宗教,而非科学。你输入两个数,把它们相加,然后你就得到了一个全新的数,这就像魔法——你要么全信,要么全不信。

加法是一种二元运算(binary operator),也就是说加法运算接受两个数作为输入(input),得到一个数作为输出(outout)。书写上,我们在输入的两个数之间用加号(plus notation)连接。因此抽象的加法就是

\[a+b=c \]

加法单位元

\(0\) 是如何定义的?

进行加法运算时,我们注意到有一类数 \(x\),使得

\[a+x=a \]

即(通俗的说)这个数加别的数等于那个数。我们把这样的 \(x\) 称为加法单位元,记作 \(0\)

由此我们定义了 \(0\),数轴的原点被确定了。

搞这么复杂,你是法国小学生吗?学这些对搬砖有什么价值?

乘法

乘法拥有巧妙的组合意义,比如 \(3\)\(5\)\(5\)\(3\) 相加。这也是我们小学定义乘法的唯一目的。

但组合意义是乘法的本质吗?如果不是,又该如何定义乘法?

乘法是一种二元运算,接受两个数作为输入,得到一个数作为输出。书写上,我们在输入的两个数之间用空格(空格在不产生歧义的情况下可以省略)连接。因此抽象的乘法就是

\[ab=c \]

使用何种乘号?

一般而言,乘法的书写有三种:\(a\times b\)\(a\cdot b\)\(ab\)

在表达两个数(标量)相乘时,我建议使用第三种,因为叉乘记号(cross product notation,\(\times\))和点乘记号(dot probduct notation,\(\cdot\)),在向量运算时已经有明确的(不同的)含义了。

因此以后我们统一使用空格作为标量乘法的记号,例如三乘以五记作 \(3\ 5=15\),手写时可以使用 \(3(5)=15\)

乘法单位元

什么是 \(1\)?什么是 \(2\)?自然数是如何被定义的?

进行乘法运算时,我们注意到有一类数 \(x\),使得

\[ax=a \]

即(通俗的说)这个数乘别的数等于那个数。我们把这样的 \(x\) 称为乘法单位元,记作 \(1\)

由此我们定义了 \(1\),数轴的原点被确定了。

所以搞了半天你连 \(1,2,3,\cdots\) 这些最基本的算术单元都没有说吗?

自然数

我们费尽心机终于定义了两个数(\(0,1\)),可是还有无穷无尽的数没有定义呢!

自然数集(记作 \(\mathbb{N}\))是由皮诺亚公理定义的集合,这一般是算术学家(你说的这个算术学家,是指小学生吗?)接触的第一个数集。

皮诺亚公理(简化版)

  1. \(0\) 是一个自然数。
  2. 如果 \(a\) 是一个自然数,则 \(a+1\) 也是一个自然数,称之为 \(a\) 的后继数。即 \(\forall_{a\in \mathbb{N}}a+1\in\mathbb{N}\)
  3. \(0\) 不是任何数的后继数。即 \(\forall _{a\in \mathbb{N}} a+1\not=0\)
  4. 不同的自然数有不同的后继数。即 \(\forall _{a\in \mathbb{N}} a+1\not=a\)
  5. 自然数集只包括上述四条所述的数。形式化的说,设 \(S\)\(\mathbb{N}\) 的子集,满足上述四条的性质(将自然数替换为 \(S\) 中的元素),则 \(S=\mathbb{N}\)

记号 \(\forall\)

\(\forall\) 形象是一个倒过来的 A,取自英文单词 any,表示对于任意一个。例如

\[\forall_{a\le10}a\le5 \]

表示对于每个小于等于 \(10\) 的数 \(a\),都有 \(a\) 小于等于 \(5\)

\(\forall\)\(\LaTeX\) 代码为 \forall

值得一提的是,我们给每个自然数设计有记号,\(2=1+1,3=2+1,4=3+1,\cdots\)

戴德金-皮亚诺结构

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f):

  1. \(X\) 是一集合,\(x\)\(X\) 中一元素,\(f\)\(X\) 到自身的映射;
  2. \(x\) 不在 \(f\) 的像集内;
  3. \(f\) 为一单射。
  4. \(A\)\(X\) 的子集并满足 \(x\) 属于 \(A\),且若 \(a\) 属于 \(A\),则 \(f(a)\) 亦属于 \(A\),则 \(A=X\)

加法结合律

小学时好像是先学交换律才学结合律的呀?但是交换律的证明需要先证明结合律……

定理1.1 自然数加法满足结合律,即 \(\forall_{a,b,c\in\mathbb{N}}(a+b)+c=a+(b+c)\)

证明:

  1. \(a=0\) 时,\((0+b)+c=b+c=0+(b+c)\)
  2. 假如 \(a=k\) 时原定理成立,则对于 \(a=k+1\),有

    \[\begin{align}a+b+c&=(k+1+b)+c\notag\\ &=((k+b)+1)+c \notag\\ &=((k+b)+c)+1 \notag\\&=(k+(b+c))+1\notag\\&=k+1+(b+c)\notag\\&=a+(b+c)\notag\end{align} \]

    \(x=k+1\) 时原定理成立。

由上述两条可推理出,原定理恒成立。\(\qquad\qquad\blacksquare\)

加法交换律

定理1.2 自然数加法满足交换律,即 \(\forall_{a,b\in\mathbb{N}}a+b=b+a\)

在证明之前,我们需要先证明两个引理:

引理1.3 \(\forall_{x\in\mathbb{N}}0+x=x\)

证明:

  1. \(x=0\) 时,\(0+x=0+0=0\)
  2. 假如当 \(x=k\) 时原引理成立,则当 \(x=k+1\) 时,\(0+x=0+k+1=(0+k)+1=k+1=x\),即当 \(x=k+1\) 时原引理成立。

由上述两条可推理出,原引理恒成立。\(\qquad\qquad\blacksquare\)

引理1.4 \(\forall_{x\in\mathbb{N}}1+x=x+1\)

证明:

  1. \(x=0\) 时,\(1+0=1=0+1\)
  2. 假如当 \(x=k\) 时原引理成立,则当 \(x=k+1\) 时,\(1+k+1=(1+k)+1=(k+1)+1\),即当 \(x=k+1\) 时原引理成立。

由上述两条可推理出,原引理恒成立。\(\qquad\qquad\blacksquare\)

证明定理1.2:

  1. \(a=0\) 时,\(0+b=b=b+0\)
  2. 假如当 \(a=k\) 时原引理成立,则当 \(a=k+1\) 时,\(a+b=k+1+b=k+b+1=b+k+1\),即当 \(x=k+1\) 时原引理成立。

由上述两条可推理出,原定理恒成立。\(\qquad\qquad\blacksquare\)

通项归纳法

让我们想想多米诺骨牌排成一行,那么我们只要把任意一张排推到,那么在这张牌之后的每一张派都会被因连锁反应而被前一张牌推到。即使在此之后的有无穷张多米诺骨牌,它们也终会全部倒下。这使我们战胜了无限。

这种方法在数学上被称为通项归纳法(mathematical induction),上面的几个证明都使用了这个方法。

让我们再举一个例子,令

\[S_n=0^2+1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 \]

求证:

\[S_n=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \]

证明

  1. 第一步:

    \[S_0 = 0^2 = 0 = \frac{0 (0 + 1) (2\ 0 + 1)}{6} \]

    即,当 \(n = 0\) 时,等式成立。

  2. 第二步:我们现在假设当 \(n = k\) 的时候原等式成立。
    即现在证明当 \(n = k + 1\) 时成立。具体而言,是这样做的:

    \[\begin{aligned}S_{k + 1} &= S_k + (k + 1)^2\\&= \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k^2 + 2k + 1)\\&= \frac{2k^3 + 9k^2 + 13k + 6}{6}\\&= \frac{(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)}{6}\end{aligned} \]

    由此得证,若 \(n = k\) 时等式成立,则当 \(n = k + 1\) 时等式成立。
    而当 \(n = 0\) 时等式成立,则对于 \(\forall_{n \geq 0}\),原等式成立。\(\qquad\qquad\blacksquare\)

这里的“第一张多米诺骨牌”正是”\(n = 0\) 时成立”,而第二步的证明中则把“牌”排了起来。于是无限的“牌”全部倒了。通项归纳法可以说是数学证明中的“万金油”。

整数

自然数集是不完整的,在群论中被称为“半群”,而整数集则是完整的。

加法逆元

减法来自何方?

进行加法运算时,我们关于数 \(a\) 定义一个数 \(x\),使得

\[a+x=0 \]

则称 \(x\)\(a\)加法逆元,记作 \(-a\)。由此我们得到

\[a+(-a)=0 \]

根据加法单位元的性质,加上一个数的加法逆元,相当于消除了加这个数的影响。

例1.5 已知 \(2+x=6\),求 \(x\)

解:
\(\because 2\) 的加法单位元为 \(-2\)

\(\therefore x=6+(-2)\)\(\qquad\qquad \texttt{w5}\)

\(\texttt{w5}\)\(\blacksquare\) 记号

\(\texttt{w5}\) 是 which was what we wanted 的缩写,表示回答完毕,解答过程的结束。

\(\blacksquare\) 表示证毕,只用于证明过程的结束。表示证毕的常用记号还有 \(\texttt{Q.E.D}\)

由此,代数的说,若 \(a+x=b\),则 \(x=b+(-a)\)

减法

减法,只是加上加法逆元的简写。

由于 \(a+(-b)\) 很常用,而且书写称呼都不方便,我们设计一种新的二元运算,称为减法,作为加加法逆元的简称,即

\[a-b=a+(-b) \]

负数

\(3\) 的加法逆元是多少,是自然数集的元素吗?

整数集(记作 \(\mathbb{Z}\))是自然数集的拓展,引入了负数的概念。简而言之:

  1. 如果 \(n\) 是自然数,则 \(n\) 是整数。
  2. 如果 \(n\) 是自然数,则 \(-n\) 是整数。
  3. 整数集只包括上述满足两条性质的数。

\(\forall_{x\in\mathbb{N}}x,-x\in\mathbb{Z}\)\(\forall_{x\in\mathbb{Z}}x\in \mathbb{N} \lor -x\in\mathbb{N}\)

逻辑记号:\(\lnot\lor\land\)

\(\lnot\) 表示逻辑非,即 \(\lnot a\) 为真当且仅当 \(a\) 为假。

\(\lor\) 表示逻辑或,即 \(a\lor b\) 为真当且仅当 \(a\) 为真或 \(b\) 为真。

\(\lor\) 表示逻辑且,即 \(a\land b\) 为假当且仅当 \(a\) 为假或 \(b\) 为假。

比起自然数集,整数集多了负数(negative number),这使得整数集比自然数集更加完整:整数集中的每个数的加法逆元都能在整数集中找到,而只有 \(0\) 能在自然数集中找到加法逆元。

在整数集上,加法结合律和加法交换律任然成立(读者自证不难)。

有理数

在乘法意义下,整数集完整吗?

乘法逆元

怎么把 \(7\) 颗糖分给 \(3\) 个小朋友?

进行乘法运算时,我们关于数 \(a\) 定义一个数 \(x\),使得

\[a+x=1 \]

则称 \(x\)\(a\)乘法逆元(在不产生歧义的前提下可以简称为逆元),暂时记作 \(\frac{1}{a}\)。由此我们得到

\[a\frac{1}{a}=1 \]

根据乘法单位元的性质,乘以一个数的乘法逆元,相当于消除乘以这个数的影响。

除法

你喜欢 \(a/b\)\(a\div b\)\(a:b\),还是 \(\frac{a}{b}\)

我喜欢第一个,因为它使用的 \(LaTeX\) 记号最少,写起来最快。

既然减号是加号的一部分,除号也应该是乘号的一部分,不是吗?

由于 \(a\frac{1}{b}\) 很常用,而且书写称呼都不方便,我们设计一种新的二元运算,称为除法,作为乘乘法逆元的简称,即

\[\frac{a}{b}=a\frac{1}{b} \]

分数

\(3\) 的乘法逆元是多少?它是整数集的元素吗?

有理数集(记作 \(\mathbb{Q}\))是整数集的拓展,对于任意两个整数 \(a,b\),满足\(\frac{a}{b}\) 是有理数。即 \(\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}|a,b\in\mathbb{Z}\}\)

运算性质

在有理数域上,加法结合律和加法交换律任然成立(读者自证不难)。
并且,

定理1.6 有理数乘法满足结合律。即 \(\forall_{a,b,c\in\mathbb{Q}}(ab)c=a(bc)\)

定理1.7 有理数乘法满足交换律。即 \(\forall_{a,b\in\mathbb{Q}}ab=ba\)

定理1.8 有理数加法和乘法满足分配律。即 \(\forall_{a,b,c\in\mathbb{Q}}a(b+c)=ab+ac\)

以上三条定理读者自证(好像有点难?),或视为加法和乘法定义的一部分即可。

根据分配率,我们注意到负数乘以负数得到一个正数

数轴

数有怎样的几何直观体现?

画一条直线,在直线上选两个点,分别为 \(0\)\(1\),并根据 \(0,1\)之间的位置关系标记出正方向,这就叫做数轴(number axis)。

真·通俗版定义

下面是一个数轴的例子:

数轴

加法变换

加法有怎样的几何(数轴)直观体现?

加法就是横向平移数轴,例如 \(+3\) 就是将数轴左移 \(3\) 个单位。

加减法对数轴的变换

画图画的?有点没对齐!

乘法变换

乘法有怎样的几何(数轴)直观体现?

乘法就是缩放数轴,例如 \(\times 3\) 就是将数轴缩小 \(3\) 倍。

乘除法对数轴的变换

根据分配率,乘负数就是缩放并翻转数轴方向。

乘方

连加得乘,连乘得……

\(n\)\(a\) 乘积的运算,叫做乘方(power),记作 \(a^n\)。特别的,定义 \(a^0=1\)。例如,\(3^4=81\)

容易注意到,乘方并没有交换律(\(3^4=81,4^3=64\))。但是乘方拥有几条重要性质(不妨称为乘方的基本性质):

  1. \(\forall_{a,n,m}a^na^m=a^{n+m}\)
  2. \(\forall_{a,n,m}\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\)
  3. \(\forall_{a,n,m}(a^n)^m=a^{nm}\)

非自然数乘方

上一节的定义并不完整(要求 \(n\) 为自然数),我们拓展这个定义。使得新定义满足两条乘方的基本性质。

例如我们要计算 \(4^{\frac{3}{2}}\),由性质 1 得到

\[4^{\frac{3}{2}}=4^14^{\frac{1}{2}}=4\ 4^{\frac{1}{2}} \]

那么 \(4^{\frac{1}{2}}\) 等于多少呢?不妨设 \(x=4^\frac{1}{2}\),由性质 3 知道,

\[x^2=(4^\frac{1}{2})^2=4 \]

所以我们是想要知道,什么数 \(x\) 满足 \(x^2=4\),容易注意到 \(2\)\(-2\) 都符合条件。我们定义当有两个数满足条件时,计算平方总是使用较大的那一个,即

\[4^\frac{1}{2}=2 \]

所以 \(4^{\frac{3}{2}}=4\ 4^{\frac{1}{2}}=4\ 2=8\)

关于负数的乘方则可以这样运算:

\[\begin{align}a^{-b}&=a^{0-b}\notag\\&=\frac{a^0}{a^b}\notag\\&=\frac{1}{a^b}\notag\end{align} \]

由此之后,我们把 \(a\) 的乘法逆元记为 \(a^{-1}\),这样的记号清晰且节省空间。

算术开根

\(a^{\frac{1}{2}}=?\)

由于 \(a^\frac{1}{b}\) 很常用,而且书写称呼都不方便,我们设计一种新的运算,称为算术开根,作为乘方乘法逆元的简称,即

\[^b\sqrt{a}=a^\frac{1}{b} \]

算术开根 \(^b\sqrt{a}\)的意义就是求一个数 \(x\) 满足 \(x^b=a\)。当 \(b=2\) 时,可以省略 \(b\),即 \(\sqrt{a}=^2\sqrt{a}\)。特别的,此时的运算叫做算术平方根(squre root)。

对数运算

\(10000\)\(10000000\) 等于多少?你会列竖式计算吗?

不,前者有 \(4\)\(0\),后者有 \(7\)\(0\),所以结果有 \(4+7=12\)\(0\),即 \(1000000000000\)

为什么能这样计算?

对数运算是乘方运算的一种逆运算,具体而言就是求解一个数 \(x\) 满足

\[a^x=b \]

\[x=\log_ab \]

其中 \(\log\) 就是对数记号。

  1. \(a=2\) 时,\(a\) 可以省略,即 \(\log b=\log_2 b\)
  2. 我们称 \(a=10\) 的对数叫做常用对数(common logarithm),并记为 \(\lg b\)

对数拥有一些基本的性质:

定理1.9 \(\forall_{a,b,c}\log_abc=\log_ab+\log_ac\)

证明:
\(a^{\log_abc}=bc=a^{\log_ab}a^{\log_ac} \qquad\qquad\blacksquare\)

推论1.10 \(\forall_{a,b,c}\log_ab^n=n\log_ab\)。(读者自证不难)

推论1.11 \(\forall_{a,b,c}\log_{a^n}b=\frac{1}{n}\log_ab\)。(读者自证不难)

定理1.12 (换底公式)\(\forall_{a,b,c}\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\)

证明:

\(x=\log_ab\),则 \(a^x=b\),注意到

\[c^{x\log_ca}=(c^{\log_ca})^x=a^x=b \]

两边取对数得

\[x\log_ca=\log_cb \]

代入 \(x\) 并移项得

\[\log_ab\log_ab=\log_cb \]

\(\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca} \qquad\qquad\blacksquare\)

无理数

问题还是出在乘法上……

什么数乘以它自己等于 \(2\)?或者说,\(\sqrt{2}=?\),答案是有理数集的元素吗?

我们知道,有理数总是有限小数或无限循环小数。

无理数(irrational number)则是无限不循环小数,一般包括代数数(algebraic number)和超越数(transcendental number),我们将在之后(第四章)继续讨论这两种数的区别。

连分式

我们注意到,一些乘方算式的结果,不总是有理数,或者说,不总能用一个分数表示。

考虑把任意有理数写成连续的分数嵌套形式,使得分子始终是 \(1\)。例如

\[\frac{7}{5}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}} \]

\[\frac{19}{8}=2+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}} \]

称为连分式

任何有理数都可以写成有限项的连分式,但是无理数不能,例如

\[\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots}}}} \]

实数

作为一个总称,它完整了吗?

有理数和无理数,总称为实数(real number)(记作 \(\mathbb{R}\))。

实数运算律

上文提及的加法结合律加法交换律乘法结合律乘法交换律加法乘法分配率乘方基本性质对数基本性质在实数集上均成立。

实数集的完整性

封闭性
实数集对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性,即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是实数。

有序性
实数集是有序的,即任意两个实数 \(a,b\) 必定满足并且只满足下列三个关系之一: \(a<b,a=n,a>b\)。(我们将在以后详细讨论数学关系)

阿基米德性质:实数具有阿基米德性质(Archimedean property),即 \(\forall_{a,b\in\mathbb{R},a>0}\exists_{n\in\mathbb{N}}an>b\)

记号 \(\exists\)

\(\exists\) 形象是一个倒过来的 E,取自英文单词 exists,表示至少存在一个。例如

\[\exists_{a\le10}a>0 \]

表示至少存在一个小于等于 \(10\) 的数 \(a\),满足 \(a\) 大于 \(0\)

稠密性:实数集具有稠密性,即两个不相等的实数之间必有另一个实数,既可以是有理数,也可以是无理数。

习题

  1. 在课本上,加法逆元乘法逆元的名称叫什么?
  2. \(0\) 可以有乘法逆元吗?有人认为可以定义 \(0\) 的乘法逆元为 \(\infty\),即定义 \(\frac{1}{0}=\infty\),这样可行吗?
  3. 整数集比自然数集大吗?有理数集比整数集大吗?实数集比有理数集大吗?
  4. 如何使 \(0^0\) 有意义?
  5. 在所有无理数中,最无理的数(the most irrational number)是什么?(你需要自己定义什么叫更无理)
  6. 实数集完整了吗?
  7. 一个实数总可以被表示成根式(嵌套)的形式吗?
  8. 一个实数总可以被表示成一个系数都是整数的多项式的根的形式吗?

 5 total views,  1 views today

页面下部广告