【数据结构与算法】手撕平衡二叉树

平衡二叉树

定义

  • 动机:二叉查找树的操作实践复杂度由树高度决定,所以希望控制树高,左右子树尽可能平衡。

  • 平衡二叉树(AVL树):称一棵二叉查找树为高度平衡树,当且仅当或由单一外结点组成,或由两个子树形 Ta 和 Tb 组成,并且满足:

    • |h(Ta) – h(Tb)| <= 1,其中 h(T) 表示树 T 的高度
    • Ta 和 Tb 都是高度平衡树

即:每个结点的左子树和右子树的高度最多差 1 的 二叉查找树。

  • 设 T 为高度平衡树中结点 q 的平衡系数为 q 的右子树高度减去左子树高度

  • 高度平衡树所以结点的平衡系数只可能为:-1, 0, 1

结点结构

1️⃣ key:关键字的值
2️⃣ value:关键字的存储信息
3️⃣ height:树的高度(只有一个结点的树的高度为 1
4️⃣ left:左子树根结点的的引用
5️⃣ right:右子树根结点的引用

class AVLNode<K extends Comparable<K>, V> {
    public K key;
    public V value;
    public int height;
    public AVLNode<K, V> left;
    public AVLNode<K, V> right;

    public AVLNode(K key, V value, int height) {
        this.key = key;
        this.value = value;
        this.height = height;
    }
}

查找算法

同二叉查找树的查找算法:【数据结构与算法】手撕二叉查找树

插入算法

AVL 树是一种二叉查找树,故可以使用二叉查找树的插入方法插入结点,但插入一个新结点时,有可能破坏 AVL 树的平衡性。

如果发生这种情况,就需要在插入结点后对平衡树进行调整,恢复平衡的性质。实现这种调整的操作称为“旋转”。

在插入一个新结点 X 后,应调整失去平衡的最小子树,即从插入点到根的路径向上找第一个不平衡结点 A。

平衡因子:该结点的左子树高度和右子树高度的差值。如果差值的绝对值小于等于 1,则说明该结点平衡,如果差值的绝对值为 2(不会出现其他情况),则说明该结点不平衡,需要做平衡处理。

造成结点 A 不平衡的的原因以及调整方式有以下几种情况。

LL 型

A 结点的平衡因子为 2,说明该结点是最小不平衡结点,需要对 A 结点进行调整。问题发生在 A 结点左子结点的左子结点,所以为 LL 型。

扁担原理:右旋

  • 将 A 的左孩子 B 提升为新的根结点;

  • 将原来的根结点 A 降为 B 的右孩子;

  • 各子树按大小关系连接(BL 和 AR 不变,BR 调整为 A 的左子树)。

  • 高度调整:由于调整后 B 的高度依赖于 A 的高度,所以先更新 A 的高度,再更新 B 的高度。

    private AVLNode<K, V> rightRotate(AVLNode<K, V> a) {
        AVLNode<K, V> b = a.left;
        a.left = b.right;
        b.right = a;
        a.height = Math.max(getHeight(a.left), getHeight(a.right)) + 1;
        b.height = Math.max(getHeight(b.left), getHeight(b.left)) + 1;
        return b;
    }

RR 型

A 结点的平衡因子为 2,说明该结点是最小不平衡结点,需要对 A 结点进行调整。问题发生在 A 结点右子结点的右子结点,所以为 RR 型。

扁担原理:左旋

  • 将 A 的右孩子 B 提升为新的根结点;

  • 将原来的根结点 A 降为 B 的左孩子;

  • 各子树按大小关系连接(AL 和 BR 不变,BL 调整为 A 的右子树)。

  • 高度调整:由于调整后 B 的高度依赖于 A 的高度,所以先更新 A 的高度,再更新 B 的高度。

    private AVLNode<K, V> leftRotate(AVLNode<K, V> a) {
        AVLNode<K, V> b = a.right;
        a.right = b.left;
        b.left = a;
        a.height = Math.max(getHeight(a.left), getHeight(a.right)) + 1;
        b.height = Math.max(getHeight(b.left), getHeight(b.left)) + 1;
        return b;
    }

LR 型

A 结点的平衡因子为 2,说明该结点是最小不平衡结点,需要对 A 结点进行调整。问题发生在 A 结点左子结点的右子结点,所以为 LR 型。

  • 从旋转的角度:对 B 左旋,然后对 A 右旋

  • 将 B 的左孩子 C 提升为新的根结点;

  • 将原来的根结点 A 降为 C 的右孩子;

  • 各子树按大小关系连接(BL 和 AR 不变,CL 和 CR 分别调整为 B 的右子树和 A 的左子树)。

    private AVLNode<K, V> leftRightRotate(AVLNode<K, V> a) {
        a.left = leftRotate(a.left);   // 对 B 左旋
        return rightRotate(a);         // 对 A 右旋
    }

RL 型

A 结点的平衡因子为 2,说明该结点是最小不平衡结点,需要对 A 结点进行调整。问题发生在 A 结点右子结点的左子结点,所以为 RL 型。

  • 从旋转的角度:对 B 右旋,然后对 A 左旋

  • 将 B 的左孩子 C 提升为新的根结点;

  • 将原来的根结点 A 降为 C 的左孩子;

  • 各子树按大小关系连接(AL 和 BR 不变,CL 和 CR 分别调整为 A 的右子树和 B 的左子树)。

    private AVLNode<K, V> rightLeftRotate(AVLNode<K, V> a) {
        a.right = rightRotate(a.right);
        return leftRotate(a);
    }

插入方法

  • 根结点默认高度为 1

  • 某结点的左右子树高度差的绝对值为 2,则需要进行平衡处理

    • 左子树高

      • key 小于 root.left.key:LL型,进行右旋

      • key 大于 root.left.key:LR型,进行左右旋

    • 右子树高

      • key 大于 root.right.key:RR型,进行左旋

      • key 小于 root.right.key:RL型,进行右左旋

    public void insert(K key, V value) {
        root = insert(root, key, value);
    }

    private AVLNode<K, V> insert(AVLNode<K, V> t, K key, V value) {
        if (t == null) {
            return new AVLNode<>(key, value, 1);
        } else if (key.compareTo(t.key) < 0) {
            t.left = insert(t.left, key, value);
            t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + 1;
            // 平衡因子判断
            if (getHeight(t.left) - getHeight(t.right) == 2) {
                if (key.compareTo(t.left.key) < 0) // 左左:右旋
                    t = rightRotate(t);
                else                                 // 左右:先左旋,再右旋
                    t = leftRightRotate(t);
            }
        } else if (key.compareTo(t.key) > 0) {
            t.right = insert(t.right, key, value);
            t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + 1;
            // 平衡因子判断
            if (getHeight(t.left) - getHeight(t.right) == -2) {
                if (key.compareTo(t.right.key) > 0) // 右右:左旋
                    t = leftRotate(t);
                else                                  // 右左:先右旋,再左旋
                    t = rightLeftRotate(t);
            }
        } else {
            t.value = value;
        }
        return t;
    }

删除算法

概述

  • 可采用二叉查找树的删除算法进行删除。
    【数据结构与算法】手撕二叉查找树

  • 删除某结点 X 后,沿从 X 到根节点的路径上考察沿途结点的平衡系数,若第一个不平衡点为 A,平衡以 A 为根的子树。

  • 平衡后,可能使子树 A 高度变小。这样可能导致 A 的父节点不满足平衡性。

  • 所以要继续向上考察结点的平衡性,最远可能至根结点,即最多需要做 O(logn) 次旋转。

  • 对比“插入”操作:平衡 A 后,子树高度不变,A 子树以外的结点不受影响,即插入最多涉及 O(1) 次旋转。

实例分析

下面举个删除的例子:

删除以下平衡二叉树中的 16 结点

1️⃣ 16 为叶子,将其删除即可,如下图。

2️⃣ 指针 g 指向实际被删除节点 16 之父 25,检查是否失衡,25 节点失衡,用 g 、u 、v 记录失衡三代节点(从失衡节点沿着高度大的子树向下找三代),判断为 RL 型,进行 RL 旋转调整平衡,如下图所示。

3️⃣ 继续向上检查,指针 g 指向 g 的双亲 69,检查是否失衡,69 节点失衡,用 g 、u 、v 记录失衡三代节点,判断为 RR 型,进行 RR 旋转调整平衡,如下图所示。

代码

代码描述

  • 若当前结点为空, 则返回该节点

  • 若关键值小于当前结点的关键值,则递归处理该结点的左子树

  • 若关键值大于当前结点的关键值,则递归处理该结点的右子树

  • 若关键值等于当前结点的关键值

    • 若当前结点的左子树为空,则返回该结点的右子树根节点

    • 若当前结点的右子树为空,则返回该结点的左子树根节点

    • 若当前结点左右子树都不为空,则找到该结点的中序前驱结点(该结点左子树的最右结点)或中序后继结点(该结点右子树的最左结点),将其值赋予该结点,然后递归删除中序前驱或后继结点。

  • 更新结点高度

  • 若该结点左子树高度更高,且处于不平衡状态

    • 若为 LL 型,进行右旋

    • 若为 LR 型,先左旋,再右旋

  • 若该结点右子树高度更高,且处于不平衡状态

    • 若为 RL 型,先右旋,再左旋

    • 若为 RR 型,进行左旋

  • 返回该结点

    public void remove(K key) {
        this.root = delete(root, key);
    }

    public AVLNode<K, V> delete(AVLNode<K, V> t, K key) {
        if (t == null) return t;
        if (key.compareTo(t.key) < 0) {
            t.left = delete(t.left, key);
        }
        else if (key.compareTo(t.key) > 0) {
            t.right = delete(t.right, key);
        }
        else {
            if(t.left == null) return t.right;
            else if(t.right == null) return t.left;
            else {         // t.left != null && t.right != null
                AVLNode<K, V> pre = t.left;
                while (pre.right != null) {
                    pre = pre.right;
                }
                t.key = pre.key;
                t.value = pre.value;
                t.left = delete(t.left, t.key);
            }
        }
        if (t == null) return t;
        t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + 1;
        if(getHeight(t.left) - getHeight(t.right) >= 2) {
            if(getHeight(t.left.left) > getHeight(t.left.right)) {
                return rightRotate(t);
            } else {
                return leftRightRotate(t);
            }
        }
        else if(getHeight(t.left) - getHeight(t.right) <= -2) {
            if(getHeight(t.right.left) > getHeight(t.right.right)) {
                return rightLeftRotate(t);
            }
            else {
                return leftRotate(t);
            }
        }
        return t;
    }

完整代码

class AVLNode<K extends Comparable<K>, V> {
    public K key;
    public V value;
    public int height;
    public AVLNode<K, V> left;
    public AVLNode<K, V> right;

    public AVLNode(K key, V value, int height) {
        this.key = key;
        this.value = value;
        this.height = height;
    }
}

class AVLTree<K extends Comparable<K>, V> {

    public AVLNode<K, V> root;

    public int getHeight(AVLNode<K, V> t) {
        return t == null ? 0 : t.height;
    }

    public void insert(K key, V value) {
        root = insert(root, key, value);
    }

    public void remove(K key) {
        this.root = delete(root, key);
    }

    public AVLNode<K, V> delete(AVLNode<K, V> t, K key) {
        if (t == null) return t;
        if (key.compareTo(t.key) < 0) {
            t.left = delete(t.left, key);
        }
        else if (key.compareTo(t.key) > 0) {
            t.right = delete(t.right, key);
        }
        else {
            if(t.left == null) return t.right;
            else if(t.right == null) return t.left;
            else {         // t.left != null && t.right != null
                AVLNode<K, V> pre = t.left;
                while (pre.right != null) {
                    pre = pre.right;
                }
                t.key = pre.key;
                t.value = pre.value;
                t.left = delete(t.left, t.key);
            }
        }
        if (t == null) return t;
        t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + 1;
        if(getHeight(t.left) - getHeight(t.right) >= 2) {
            if(getHeight(t.left.left) > getHeight(t.left.right)) {
                return rightRotate(t);
            } else {
                return leftRightRotate(t);
            }
        }
        else if(getHeight(t.left) - getHeight(t.right) <= -2) {
            if(getHeight(t.right.left) > getHeight(t.right.right)) {
                return rightLeftRotate(t);
            }
            else {
                return leftRotate(t);
            }
        }
        return t;
    }


    private AVLNode<K, V> insert(AVLNode<K, V> t, K key, V value) {
        if (t == null) {
            return new AVLNode<>(key, value, 1);
        }
        if (key.compareTo(t.key) < 0) {
            t.left = insert(t.left, key, value);
            // 平衡因子判断
            if (getHeight(t.left) - getHeight(t.right) == 2) {
                if (key.compareTo(t.left.key) < 0) // 左左:右旋
                    t = rightRotate(t);
                else                                  // 左右:先左旋,再右旋
                    t = leftRightRotate(t);
            }
        } else if (key.compareTo(t.key) > 0) {
            t.right = insert(t.right, key, value);
            // 平衡因子判断
            if (getHeight(t.left) - getHeight(t.right) == -2) {
                if (key.compareTo(t.right.key) > 0) // 右右:左旋
                    t = leftRotate(t);
                else                                   // 右左:先右旋,再左旋
                    t = rightLeftRotate(t);
            }
        } else {
            t.value = value;
        }
        t.height = Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right)) + 1;
        return t;
    }

    private AVLNode<K, V> rightLeftRotate(AVLNode<K, V> a) {
        a.right = rightRotate(a.right);
        return leftRotate(a);
    }

    private AVLNode<K, V> leftRightRotate(AVLNode<K, V> a) {
        a.left = leftRotate(a.left);
        return rightRotate(a);
    }

    private AVLNode<K, V> leftRotate(AVLNode<K, V> a) {
        AVLNode<K, V> b = a.right;
        a.right = b.left;
        b.left = a;
        a.height = Math.max(getHeight(a.left), getHeight(a.right)) + 1;
        b.height = Math.max(getHeight(b.left), getHeight(b.right)) + 1;
        return b;
    }

    private AVLNode<K, V> rightRotate(AVLNode<K, V> a) {
        AVLNode<K, V> b = a.left;
        a.left = b.right;
        b.right = a;
        a.height = Math.max(getHeight(a.left), getHeight(a.right)) + 1;
        b.height = Math.max(getHeight(b.left), getHeight(b.right)) + 1;
        return b;
    }

    private void inorder(AVLNode<K, V> root) {
        if (root != null) {
            inorder(root.left);
            System.out.print("(key: " + root.key + " , value: " + root.value + " , height: " + root.height + ") ");
            inorder(root.right);
        }
    }

    private void preorder(AVLNode<K, V> root) {
        if (root != null) {
            System.out.print("(key: " + root.key + " , value: " + root.value + " , height: " + root.height + ") ");
            preorder(root.left);
            preorder(root.right);
        }
    }

    private void postorder(AVLNode<K, V> root) {
        if (root != null) {
            postorder(root.left);
            postorder(root.right);
            System.out.print("(key: " + root.key + " , value: " + root.value + " , height: " + root.height + ") ");
        }
    }

    public void postorderTraverse() {
        System.out.print("后序遍历:");
        postorder(root);
        System.out.println();
    }

    public void preorderTraverse() {
        System.out.print("先序遍历:");
        preorder(root);
        System.out.println();
    }

    public void inorderTraverse() {
        System.out.print("中序遍历:");
        inorder(root);
        System.out.println();
    }
}

方法测试

    public static void main(String[] args) {
        AVLTree<Integer, Integer> tree = new AVLTree<>();
        tree.insert(69, 1);
        tree.insert(25, 1);
        tree.insert(80, 1);
        tree.insert(16, 1);
        tree.insert(56, 1);
        tree.insert(75, 1);
        tree.insert(90, 1);
        tree.insert(30, 1);
        tree.insert(78, 1);
        tree.insert(85, 1);
        tree.insert(98, 1);
        tree.insert(82, 1);

        tree.remove(16);
        tree.preorderTraverse();
        tree.inorderTraverse();
        tree.postorderTraverse();
    }

输出

先序遍历:(key: 80 , value: 1 , height: 4) (key: 69 , value: 1 , height: 3) (key: 30 , value: 1 , height: 2) (key: 25 , value: 1 , height: 1) (key: 56 , value: 1 , height: 1) (key: 75 , value: 1 , height: 2) (key: 78 , value: 1 , height: 1) (key: 90 , value: 1 , height: 3) (key: 85 , value: 1 , height: 2) (key: 82 , value: 1 , height: 1) (key: 98 , value: 1 , height: 1) 
中序遍历:(key: 25 , value: 1 , height: 1) (key: 30 , value: 1 , height: 2) (key: 56 , value: 1 , height: 1) (key: 69 , value: 1 , height: 3) (key: 75 , value: 1 , height: 2) (key: 78 , value: 1 , height: 1) (key: 80 , value: 1 , height: 4) (key: 82 , value: 1 , height: 1) (key: 85 , value: 1 , height: 2) (key: 90 , value: 1 , height: 3) (key: 98 , value: 1 , height: 1) 
后序遍历:(key: 25 , value: 1 , height: 1) (key: 56 , value: 1 , height: 1) (key: 30 , value: 1 , height: 2) (key: 78 , value: 1 , height: 1) (key: 75 , value: 1 , height: 2) (key: 69 , value: 1 , height: 3) (key: 82 , value: 1 , height: 1) (key: 85 , value: 1 , height: 2) (key: 98 , value: 1 , height: 1) (key: 90 , value: 1 , height: 3) (key: 80 , value: 1 , height: 4)